<<
>>

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

До сих пор мы имели дело с несколькими группами больных, которые подвергались различным методам лечения. В дисперсионном анализе повторных измерений ситуация иная: одни и те же больные последовательно подвергаются нескольким методам лечения или просто наблюдаются в несколько последовательных моментов времени.

По-другому распределяется и общая вариация S (рис. 9.5). Прежде всего можно выделить- межиндивидуальную (S ) и внутрииндивидуальную (S ) вариацию, последняя, в свою очередь, распадается на обусловленную методом лечения (S ) и остаточную (S ), обусловленную случайными колебаниями, ошибкой измерения и т. п.

Обозначения, которые мы будем использовать в дисперсионном анализе повторных измерений, приведены в табл. 9.4. Представлены 4 больных, каждого из которых последовательно лечили 3 методами. Значения интересующего нас признака обо-

Таблица 9.4. Обозначения, используемые в дисперсионном анализе повторных измерений
Больной Метод лечения 1 2 3 Среднее

Вариация

ВИб

1 *11 *21 *31 *1 К - *1 )2
2 *12 *22 *32 *2 !(( - *2 )2
3 *13 *23 *33 *3 Х((„3 - *3 )2
4 *14 *24 *34 *4 Х((„4 - *4 )2
Среднее T2

значены Хм6, например, X — значение у 2-го больного при 1-м методе лечения, Х — значение у 1-го больного при 3-м методе

лечения и так далее.

Величины X6 (X1, X2, X3 и X4) — это «индивидуальные» средние (средние значения признака при всех методах лечения у 1-го, 2-го и т.
д. больного):

_ Е Хмб

__ м

б = ,

m

где т — число методов лечения. Тм (T1, T2, T3 и T4) — средние значения признака у всех больных при 1-м, 2-м и т. д. методе лечения:

Е Хмб

T = ■

n

где п — число больных.

Общая вариация — это сумма квадратов отклонений всех значений (у всех больных при всех методах лечения) от общего среднего, которое составляет

ЕЕ хМб

X = -

mn

таким образом,

^общ =ЕЕ(мб - X )2

Соответствующее число степеней свободы v^ = тп - 1.

Общая вариация складывается из межиндивидуальной и внутрииндивидуальной вариации. Рассчитаем внутрииндивидуальную вариацию S . У первого больного сумма квадратов отклонений от индивидуального среднего X1 равна

^ВИ1 =Е(м1 - X1 )2.

У второго больного

V =Е(XM2 - X2 )2.

и так далее. Чтобы рассчитать внутрииндивидуальную вариацию, просуммируем S по всем больным:

Соответствующее число степеней свободы составляет vm = = n(m - 1).

Перейдем к межиндивидуальной вариации. Она складывается из квадратов отклонений индивидуальных средних Хб от общего среднего X:

Sми — m£((б - X)2.

Множитель т появляется из-за того, что каждое Хб — это среднее по т методам лечения. Число степеней свободы vm = = n - 1.

Можно показать*, что общая вариация равна сумме внутри- и межиндивидуальной вариаций:

S — S + S

общ ви ми ■

Теперь из внутрииндивидуальной вариации нам предстоит выделить вариацию, связанную с лечением S е, и остаточную вариацию S, связанную со случайными отклонениями и ошибками измерения. Вариация, связанная с лечением, складывается из квадратов отклонений средних по методам лечения Тм от

общего среднего X:

Наличие коэффициента п связано с тем, что каждое Тм — это среднее по п больным.

Соответствующее число степеней свободы v = m - 1. Остаточная вариация — вторая составляющая внутрииндивидуальной вариации — получается вычитанием:

Хст — Sви - X

Вывод этого равенства см. в: В. J. Winer, D. R. Brown, К. М. Michels. Statistical principles in experimental design, 3d ed. McGraw-Hill, New York, 1991.

Аналогично вычисляется и остаточное число степеней свободы v :

^ст = VBH - vле = n(m -1) - (m - !) = (n - 1)(m - 1).

Теперь мы можем получить две независимые оценки дисперсии: на основании вариации, связанной с лечением

2

S„_ =

v

и на основании остаточной вариации:

S2 5ост

ост _ ,

v

ост

после чего можно применить знакомый нам критерий F:

Далее следует поступить как при обычном дисперсионном анализе. Вычисленное значение F сравнивают с критическим для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы. Чтобы воспользоваться табл. 3.1, нужно в качестве v взять v , а в качестве v — соответственно v .

Боюсь, читателя утомили сложные выкладки и громоздкие термины, которыми несколько перегружен этот раздел. Пора перейти к практическим применениям. Как мы уже говорили, дисперсионный анализ повторных наблюдений можно использовать не только когда к одним и тем же больным применяется несколько методов лечения, но и когда больные просто наблюдаются в несколько разных моментов времени. Именно на таком, очень простом примере мы и рассмотрим применение дисперсионного анализа повторных измерений.

Гидралазин при первичной легочной гипертензии

Первичная легочная гипертезия — редкое и чрезвычайно тяжелое заболевание, при котором вследствие неизвестных причин повышается давление в артериях легких. Стенки артерий утол

щаются, что затрудняет газообмен в легких. Из-за повышенной нагрузки на правый желудочек страдает сердце. Без лечения больные живут не более нескольких лет.

Гидралазин — препарат, расширяющий сосуды, — успешно используется при гипертонической болезни. Л. Рубин и Р. Питер[65] предположили, что его можно использовать и при первичной легочной гипертензии. В исследование вошли 4 больных. Измерения производили трижды: перед началом лечения, спустя 48 ч и 3—6 мес лечения. (В дальнейшем мы будем говорить просто о 1,2 и 3-м измерениях.) Измеряли, в частности, легочное сосудистое сопротивление. Этот показатель отражает тяжесть легочной гипертензии: чем выше сопротивление, тем тяжелее гипертензия. Результаты представлены на рис. 9.6. Похоже, данные говорят в пользу препарата. С другой стороны, они получены на малочисленной выборке. Поэтому не будем доверяться впечатлениям, а воспользуемся дисперсионным анализом повторных измерений.

Обратимся к табл. 9.5. Здесь помимо первичных данных приведены средние значения легочного сосудистого сопротивления для каждого из 4 больных и для каждого из трех моментов измерения. Например, у второго больного среднее легочное сосудистое сопротивление составило

X2 = 17,0 + 6,3 + 6,2 = 9,83,

1 3

а среднее легочное сосудистое сопротивление при 1-м измерении:

T = 22,2 +17,0 +14,1 +17,0 = 17 58 1 3 , .

Среднее сопротивление по всем измерениям X = 11,63, а общая вариация S = 289,82.

В табл. 9.5 приведены также суммы квадратов отклонений от индивидуального среднего. Например, для второго больного

£ВИз = (17,0 - 9,83)2 + (6,3 - 9,83)2 + (6,2 - 9,83)2 = 77,05.

Внутрииндивидуальная вариация составляет 5ВИ = 147,95 + 77,05 + 18,35 + 21,45 = 264,80.

Можно найти межиндивидуальную вариацию

5Ми = 3[(12,73 - 11,63)2 + (9,83 - 11,63)2 +

+ (10,63 - 11,63)2 + (13,33 - 11,63)2] = 25,02.

Заметьте, что, как это и должно быть, выполняется равенство

S , = Srn + S .„.

общ ВИ МИ

Рассчитаем S (теперь эта вариация связана со временем, но мы оставим прежнее обозначение):

Sm = 4[(17,58 - 11,63)2 + (7,73 - 11,63)2 + (9,60 - 11,63)2] = 218,93.

Соответствующее число степеней свободы:

V = m - 1 = 3 - 1 = 2.

ле

Наконец, остаточная вариация определяется равенством 5 = 5ВИ - 5 = 264,80 - 218,93 = 45,87

и имеет V = (n - 1)(m - 1) = (4 - 1)(3 - 1) = 6 степеней свободы.

Все найденные величины сведены в табл. 9.6. Обратите внимание, что здесь общая вариация разложена на большее число составляющих, чем в табл. 9.3. Причина в том, что теперь рассматриваются результаты повторных измерений одной группы, а не однократных измерений нескольких групп.

Вычисляем оценку дисперсии на основании вариации, обусловленной лечением:

= 109,47

и на основании остаточной вариации:

Теперь, наконец, можно вычислить F:

s2

F = 22L = 14,31.

^ст

Критическое значение для числа степеней свободы V = 2 и

Таблица 9.6. Таблица дисперсионного анализа (исследование гидралазина при первичной легочной гипертензии)
Вариация Число степеней свободы Оценка

дисперсии

Межиндивидуальная Уми = 25,02 3
Внутрииндивидуальная УВи = 264,80 8
обусловленная лечением S = 218,93 2 109,47
остаточная S = 45,87 6 7,65
Общая S^ = 289,82 11

52

F = f- = 14,31

^ост

V = 6 составляет 10,92, то есть меньше полученного нами.

Таким образом, легочное сосудистое сопротивление нельзя считать постоянным. По крайней мере в один из моментов легочное сосудистое сопротивление значимо отличается от наблюдаемого в остальные моменты. Ответить на вопрос, что это за момент и что это за отличия, дисперсионный анализ не может. Для этого следует воспользоваться методами множественных сравнений (гл.4).

Как выявить различия в повторных измерениях

В гл. 4 мы познакомились с критерием Стьюдента с поправкой Бонферрони. Он вычисляется как обычный критерий Стьюдента:

X, - X

t =-

2s_

n

Однако уровень значимости в каждом из сравнений, согласно поправке Бонферрони, принимается равным а = а'/к, где а' — истинный уровень значимости (по всем сравнениям в целом), а к — число сравнений. Критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони, как и другие методы множественного сравнения, применяется лишь после того, как дисперсионный анализ обнаружит сам факт существования различий.

При дисперсионном анализе повторных измерений схема использования критерия остается прежней. Отличие в том, что в формуле для t вместо s1 следует взять остаточную дисперсию

, а средние по группам заменить на средние по методам лечения (моментам наблюдения) Тм . Тогда формула для t примет вид:

Т - Т

1st

п

Полученное значение нужно сравнить с критическим значением для распределения Стьюдента при v степенях свободы.

Вернемся к эксперименту с гидралазином. Остаточная оценка дисперсии s^ = 7,65. Число больных при каждом измерении n = 4.

Сравним 1-е и 1-е измерения:

4

Сравним 1-е и 3-е измерения:

4

И наконец, 1-е и 3-е измерения:

Чтобы вероятность ошибочно обнаружить различие была в совокупности по всем трем сравнениям меньше 0,05, нужно в каждом отдельном сравнении использовать в три раза меньший уровень значимости 0,05/3 = 0,016. Для этого уровня значимости

и при числе степеней свободы v = 6 находим по табл. 4.1 критическое значение, приближенно равное 3,37 (поскольку таблица не содержит значений для а = 0,016, оно расчитывается приблизительно по соседним значениям а = 0,01 и а = 0,02).

Значения t для первых двух сравнений больше критического, а для третьего — меньше. Поэтому при уровне значимости 0,05 (но ни в коем случае не 0,016, используемом в каждом сравнении) различие в величине общего легочного сопротивления до и после приема гидралазина статистически значимо, а между измерениями на фоне приема гидралазина статистически незначимо.

Заканчивая обсуждение парных сравнений, скажем, что вместо поправки Бонферрони можно воспользоваться более точным критерием Ньюмена—Кейлса или критерием Тыоки. Кроме того, в рассматриваемом примере, где измерения, выполненные до начала лечения, играют роль «контрольной группы», пригоден и критерий Даннета для множественного сравнения с контрольной группой. Все эти критерии описаны в гл. 4. При их применении нужно, как и в случае критерия Стьюдента с поправкой Бонферрони, в качестве оценки дисперсии брать s2CT, а при нахождении критического значения использовать число степеней свободы остаточной вариации.

Чувствительность дисперсионного анализа повторных измерений

Чувствительность вычисляется так же, как в обычном дисперсионном анализе, с той разницей, что в качестве оценки для s используется s, а вместо численности отдельных групп — численность единственной рассматриваемой группы.

<< | >>
Источник: С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер. с англ. — М., Практика1998. 1998

Еще по теме ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ:

  1. Анализ повторных измерений
  2. Глава 9 Анализ повторных измерений
  3. ПОВТОРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ: КРИТЕРИИ ФРИДМАНА
  4. КРИТЕРИИ СТЬЮДЕНТА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА[15]
  5. НОВЫЙ ПОДХОД К ДИСПЕРСИОННОМУ АНАЛИЗУ[63]
  6. Глава 3 Сравнение нескольких групп: дисперсионный анализ
  7. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА
  8. Сравнение нескольких групп: дисперсионный анализ
  9. ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА Величина шага во встречных потоках Инь и Ян - это и есть четвертое измерение.
  10. ПРАВИЛА ДЛЯ ПОВТОРНОГО ВЫБОРА ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
  11. Измерение АД
  12. ЖИЗНЬ И СМЕРТЬ. В результате повторных рождений Душа накапливает бесценный опыт Божественного Начала.
  13. Температуры и точность их измерения
  14. Измерение роста
  15. Величины pH и точность их измерения
  16. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
  17. Методы измерения вазодилатации
  18. Измерение массы тела
  19. ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ
  20. Методы измерения отека